Which of the following fractions is the closest to 1 given that a>b>1?

এখানে প্রদত্ত শর্ত হলো \(a > b > 1\)। এর অর্থ হলো \(a\) এবং \(b\) উভয়ই 1 এর চেয়ে বড় এবং \(a\) এর মান \(b\) এর চেয়ে বড়। যেহেতু \(a > b\), তাই \( \frac{a}{b} \) একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ (Improper fraction) এবং এর মান 1 এর চেয়ে বড় হবে। প্রশ্ন হলো, নিচের কোন ভগ্নাংশটি 1 এর সবচেয়ে কাছাকাছি?

যখন একটি ভগ্নাংশের লব (Numerator) হর (Denominator) এর চেয়ে বড় হয় (অর্থাৎ ভগ্নাংশটি 1 এর চেয়ে বড় হয়), তখন কিছু সাধারণ নিয়ম প্রযোজ্য:

    
1. যদি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয় এর সাথে একটি ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করা হয়, তবে নতুন ভগ্নাংশটির মান পূর্বের ভগ্নাংশটির চেয়ে ছোট হয় এবং 1 এর কাছাকাছি আসে।
    
2. লব ও হর উভয়ের সাথে যত বড় ধনাত্মক সংখ্যা যোগ করা হবে, ভগ্নাংশটি 1 এর তত বেশি কাছাকাছি আসবে।
    
3. যদি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয় থেকে একটি ধনাত্মক সংখ্যা বিয়োগ করা হয় (এবং হর ধনাত্মক থাকে), তবে নতুন ভগ্নাংশটির মান পূর্বের ভগ্নাংশটির চেয়ে বড় হয় এবং 1 থেকে আরও দূরে সরে যায়।

এবার প্রদত্ত বিকল্পগুলি বিশ্লেষণ করা যাক:

বিকল্প 1: \( \frac{a}{b} \)

এটি একটি বেস ভগ্নাংশ, যার মান 1 এর চেয়ে বড়। উদাহরণস্বরূপ, যদি \(a=3\) এবং \(b=2\) হয়, তাহলে \( \frac{a}{b} = \frac{3}{2} = 1.5 \)। 1 থেকে এর পার্থক্য হলো \(|1.5 - 1| = 0.5\)।

বিকল্প 4: \( \frac{a-1}{b-1} \)

এখানে লব ও হর উভয় থেকে 1 বিয়োগ করা হয়েছে। যেহেতু \(a > b > 1\), তাই \(b-1 > 0\)। উপরের নিয়ম 3 অনুযায়ী, এই ভগ্নাংশটি \( \frac{a}{b} \) এর চেয়ে বড় হবে এবং 1 থেকে আরও দূরে সরে যাবে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি \(a=3\) এবং \(b=2\) হয়, তাহলে \( \frac{a-1}{b-1} = \frac{3-1}{2-1} = \frac{2}{1} = 2 \)। 1 থেকে এর পার্থক্য হলো \(|2 - 1| = 1\)। যা \( \frac{a}{b} \) এর চেয়ে 1 থেকে বেশি দূরে।

বিকল্প 3: \( \frac{a+1}{b+1} \)

(এখানে প্রদত্ত প্রশ্নপত্রে বিকল্প 3 এ \((a+1)(b+1)\) ছিল, যা একটি ভগ্নাংশ নয় বরং একটি গুণফল। কিন্তু অন্যান্য বিকল্পগুলি ভগ্নাংশ হওয়ায় এবং প্রশ্নটি "কোন ভগ্নাংশটি 1-এর closest" হওয়ায়, ধরে নেওয়া হয়েছে যে এটি আসলে \( \frac{a+1}{b+1} \) হবে। যদি এটি গুণফল হতো, তবে এর মান অনেক বড় হতো এবং 1-এর কাছাকাছি হওয়ার সম্ভাবনা থাকত না।)

এখানে লব ও হর উভয় এর সাথে 1 যোগ করা হয়েছে। উপরের নিয়ম 1 অনুযায়ী, এই ভগ্নাংশটি \( \frac{a}{b} \) এর চেয়ে ছোট হবে এবং 1 এর কাছাকাছি আসবে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি \(a=3\) এবং \(b=2\) হয়, তাহলে \( \frac{a+1}{b+1} = \frac{3+1}{2+1} = \frac{4}{3} \approx 1.333 \)। 1 থেকে এর পার্থক্য হলো \(|1.333 - 1| = 0.333\)। যা \( \frac{a}{b} \) এর চেয়ে 1 এর বেশি কাছাকাছি।

বিকল্প 2: \( \frac{a+2}{b+2} \)

এখানে লব ও হর উভয় এর সাথে 2 যোগ করা হয়েছে। উপরের নিয়ম 1 এবং 2 অনুযায়ী, যেহেতু 2 সংখ্যাটি 1 এর চেয়ে বড় (অর্থাৎ \(k=2\) এবং \(k=1\)), তাই \( \frac{a+2}{b+2} \) ভগ্নাংশটি \( \frac{a+1}{b+1} \) এর চেয়েও ছোট হবে এবং 1 এর আরও বেশি কাছাকাছি আসবে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি \(a=3\) এবং \(b=2\) হয়, তাহলে \( \frac{a+2}{b+2} = \frac{3+2}{2+2} = \frac{5}{4} = 1.25 \)। 1 থেকে এর পার্থক্য হলো \(|1.25 - 1| = 0.25\)।

তুলনা করলে দেখা যায়:

    
• \( \frac{a}{b} \): পার্থক্য 0.5
    
• \( \frac{a-1}{b-1} \): পার্থক্য 1
    
• \( \frac{a+1}{b+1} \): পার্থক্য 0.333
    
• \( \frac{a+2}{b+2} \): পার্থক্য 0.25

সবচেয়ে কম পার্থক্য হলো 0.25, যা \( \frac{a+2}{b+2} \) এর জন্য। সুতরাং, \( \frac{a+2}{b+2} \) ভগ্নাংশটি 1 এর সবচেয়ে কাছাকাছি।

এ ধরনের সমস্যার দ্রুত সমাধানের জন্য, \(a > b > 1\) শর্ত মেনে চলা যায় এমন কিছু সহজ পূর্ণসংখ্যা ধরে নেওয়া যেতে পারে।

ধরি, \(a = 3\) এবং \(b = 2\)।

এবার প্রতিটি বিকল্পের মান বের করে 1 এর সাথে তুলনা করি:

    
1. \( \frac{a}{b} = \frac{3}{2} = 1.5 \)
   1 থেকে পার্থক্য = \(|1.5 - 1| = 0.5\)
    
2. \( \frac{a+2}{b+2} = \frac{3+2}{2+2} = \frac{5}{4} = 1.25 \)
   1 থেকে পার্থক্য = \(|1.25 - 1| = 0.25\)
    
3. \( \frac{a+1}{b+1} = \frac{3+1}{2+1} = \frac{4}{3} \approx 1.333 \)
   1 থেকে পার্থক্য = \(|1.333 - 1| = 0.333\)
    
4. \( \frac{a-1}{b-1} = \frac{3-1}{2-1} = \frac{2}{1} = 2 \)
   1 থেকে পার্থক্য = \(|2 - 1| = 1\)

উপরোক্ত পার্থক্যগুলির মধ্যে সবচেয়ে ছোট মান হলো 0.25, যা \( \frac{a+2}{b+2} \) এর জন্য পাওয়া গেছে। সুতরাং, \( \frac{a+2}{b+2} \) ভগ্নাংশটি 1 এর সবচেয়ে কাছাকাছি।